Correzione compito in classe

classe III, Gennaio 2007

Scrivi l'equazione della circonferenza inscritta nel triangolo che ha per lati gli assi cartesiani e la retta di equazione 2x+y–2=0. Determina le coordinate dei vertici del triangolo simmetrico di quello dato rispetto al suo incentro. Calcola l'area della figura intersezione dei due triangoli. 
L'equazione della retta in forma segmentaria
	
 
esplicita le intercette sugli assi coordinati.
Il centro della circonferenza inscritta al triangolo 
sta sulla bisettrice del I quadrante, di coordinate
(r,r), con r raggio, e alla stessa distanza r dalla
retta 2x+y–2=0:
	
  
cioè
	

da cui  
	

Escludendo il valore del raggio della circonferenza
ex-inscritta rimane
	

Alternativamente, ricordando la formula dell'incentro
come media pesata dei vertici, con pesi pari alle
lunghezze dei lati opposti, viene
	

	

 

L'equazioni della circonferenza è allora
	


ovvero anche
	


La simmetria di centro nel centro della circonferenza ha equazioni
	


quindi i vertici del triangolo simmetrico di quello dato
hanno coordinate
	


L'area dell'esagono intersezione dei due triangoli si
può ottenere togliendo all'area A del triangolo dato, che 
vale 1, le aree AI, AII e AIII dei tre triangoli più piccoli 
simili a quello dato.
Il più grande ha cateto lungo 2-(3-Ö5) corrispondente 
a quello lungo 2 del triangolo dato quindi  
	AI : A = (Ö5-1)2 : 22.
Il medio ha cateto lungo 1-(3-Ö5) corrispondente 
a quello lungo 1 del triangolo dato quindi  
	AII : A = (Ö5-2)2 : 12.

Infine il più piccolo ha cateto di estremi (3-Ö5,3-Ö5) e (x,3-Ö5), con x= (2-y)/2 = (2 - (3-Ö5))/2 = (Ö5-1)/2 
e quindi lunghezza  (3-Ö5-(Ö5-1)/2)= (7 - 3Ö5)/2   corrispondente a quello lungo 1 del triangolo dato 
quindi  AIII : A = ((7 - 3Ö5)/2)2 : 12.
ovvero  AIII = (94-42Ö5)/4.
In totale l'area richiesta è
	A-AI-AII-AIII = 
	= 1-(6-2Ö5)/4-(9-4Ö5)-(47-21Ö5)/2 =
	= (4-136 + 60Ö5)/4 = (15Ö5 - 33) =
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pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione